Napište rovnici tečny křivky o rovnici x 2 + y 2 = 25 v bodě T[3,-4]. B: Help: Výsledek: 127: Napište rovnici tečny křivky o rovnici 5x 2 + y 2 = 25 v bodě T[1,-2]. B: Help: Výsledek: 128: Vypočtěte derivaci v bodě x=1 funkce f: v libovol.bodě D(f) C: Help: Výsledek: 129: Napište rovnici tečny křivky o rovnici y 2 = 6x - 8 v. Příklad 5: Určete rovnici tečny kružnice x2 + y2 - 6x - 2y - 15 = 0 v bodě T[-1, -2]. Příklad 6: Svisle vzhůru bylo vrženo těleso počáteční rychlostí vo = 50 m.s-1. Napište rovnici tečny ke křivce o rovnici y = x2 - 5x + 6, je-li tečna rovnoběžná s přímkou y = x + Napište rovnice tečen ke kružnici x 2 + y 2 = 25 v jejím dotykovém bodě T [3;y]. Zjistěte také úhel φ mezi tečnou. Řešení: 8. Napište rovnici tečny k parabole y 2 = 18x, která je rovnoběžná s přímkou p : 3x - 4y + 69 = 1) napište rovnici kružnice, která má střed S=[2,1] a prochází bodem k=[6,-2] Určete souřadnice bodů, ve kterých kružnice protíná osy x, y 2) Zjistěte, zda body A=[2,1] B=[2,5] C=[4,5] D=[-1,2] leží na stejné kružnici 3) Kružnice má střed S=[3,-1] s poloměrem r=. Bod T=[-6,0]. Určete rovnici tečny kružnice v bodě T
Tečna ke kružnici. 9 řešených příkladů na tečny ke kružnici. Nabízíme všechny materiály z této sekce na webu e-matematika.cz jen za 250Kč!Podpořte náš web odkazem!. Jazyková škola Březinka otevírá letní jazykové kurzy. Přátelské tvůrčí prostředí + velmi příznivé ceny Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3; 2]. Určete rovnici tečny v daném bodě kružnice: x2 +y2 = 10, T [1; y T 0] Napište rovnici tečny ke kružnici, která je rovnoběžná s danou přímkou. k:. 10. Najděte rovnici tečny kružnice x2+y2=13 v bodě A[2; y>0]. 11. Určete všechna reálná čísla m, pro něž je přímka 3x+4y+m=0 tečnou kružnice x2+y2=25. 12. Napište rovnice tečen kružnice (x-2)2+(y+6)2=13, které jsou rovnoběžné s přímkou 2x-3y+5=0. 13. Napište rovnice tečen kružnice (x-2)2+(y+6)2=13, které jsou kolmé. Napište rovnici tečny hyperboly 4x 2 - 5y 2 - 24x - 20y - 4 = 0 v jejím bodě T[8; -6]. Řešení Obecnou rovnici hyperboly převedeme na rovnici středovou Zadání: Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy y a její střed leží na přímce p: x - y + 3 = 0
•Sečna kružnice T bod dotyku A B . ROVNICE TEČNY KRUŽNICE > @ 2 X 0, 0: 0 x m 0 y n r Kružnice k se středem v bodě S Rovnice tečny v bodě X > x m y n r2, S m, n @ Určete vzájemnou polohu kružnice a přímky. Napište rovnici tečny kuželosečky, která je rovnoběžná s danou přímkou p.: 2 2 0 2 8 5 Kružnice se středem v bodě S[m,n] má rovnici: (x−m)2+(y−n)2= r2. Obecná rovnice kružnice je: x2+y2+ax+by+c= 0, kde a2+b2−4c>0. Zde je střed S − a 2;− b 2 a poloměr r= s a2+b2−4c 4. 1.1.1 Tečnakekružnici Máme kružnici se středem S[m;n] a poloměrem ra na kružnici bod T[x0;y0]. Rovnice tečny ke kružnici vedená bodem.
Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kružnice, pokud ano, určete její poloměr a souřadnice středu a kružnici načrtněte: x2 + y2 - 10 x - 6y + 2 = 0 x2 + y2 + 8x - 4y -10 = řídící přímky. Dále napište rovnici tečny k parabole v dotykovém bodě T = [-2,y 0]. Řešení: π: (y + 3)2 = 4(x + 2) => V = [-2,-3], p=2, F = [-1,-3] oπ: y = -3, d: x = -3 T π => y 0 = -3 t: x = -2 17.7 Příklad: Napište rovnice tečen kružnice k: x2 + y2 = 13, které se jí dotýkají v jejích průsečícíc KUŽELOSEČKY Kružnice 1. Napište rovnici kružnice k, která má střed na ose y a prochází body A[2,a2], B[−4,b2] ležícími na přímce p : x−2y −6 = 0. 2. Napište rovnici tečny kružnice k : x2+y2= 10, která se jí dotýká průsečících s přímkou p : x−2y +5 = 0
Napište rovnici tečny paraboly v jejím bodě T: a) , bodě T , b) , v bodě T , c) , v bodě T , d) , v bodě T . 26. Je dána parabola . Napište rovnice tečen paraboly v jejich průsečících s osou x. 27. Určete velikost úhlu, který svírají tečny vedené z bodu A k parabole . Přímka a kružnice. 28 Do této kategorie spadá i kružnice a tu se dnes naučíme popisovat pomocí středové a obecné rovnice x-y-2=0 x-2y+5=0 7) Napište množinu všech bodů, které mají od bodu D[8;-1] třikrát větší vzdálenost než od bodu C[4;7].20.Napište rovnici elipsy, kdy je dán bod M [3, -1], který je koncovým bodem malé poloosy b, ohniska.
(správné řešení: tečna kružnice v [bodě ]) 4) Najděte velikost úhlu sevřeného poloměry kružnice , které jsou vedeny body, v nichž souřadnicová osa . x. protíná kružnici . k. (správné řešení: 90°) 5) Napište rovnici tečny ke kružnici v dotykovém bodě [ ] Napište rovnici kružnice, která má střed a) a prochází bodem . b) dotýká se přímky p: 5x - 12y - 24 = 0 Napište rovnici paraboly s vrcholem v počátku soustavy, procházející bodem , jejíž osa a) splývá s osou x b) splývá s osou y. Napište rovnici tečny ke křivce k v bodě: Určete rovnici tečny t ke křivce.
Převeďte obecnou rovnici kružnice x 2 +y 2-6x+4y+9=0 na středovou rovnici. Doplnění na čtverec x 2-6x+y 2-4y+9=0 Napište rovnici tečny elipsy v bodě T[4;-2] elypsy 3x 2 +6y 2-12x+36y+48=0 e: 3(x-2) 2 +6(y+3) 2 =18 Nalezněte tečnu paraboly x 2 +2x-y=0 v bodě T[0;0]. Parabola je omezená zezdola (podle předpisu),. v bodě T[0, 0] t: −0 −+ −0 −= 2 Příklad č. 2. Napište rovnici tečny kružnice k: x −52+ y −102=9v jejím bodě T[2, ?]..
Napište obecnou rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě T. Řešení: V bodě T známe souřadnici x t = π / 2 a potřebujeme znát ještě souřadnici y t. Získáme ji dosazením x t = π / 2 za x do vzorce funkce f(x) Teď už známe celý bod T = [ x t, y t] = [ π/2, 1 ]. Víme, že tečna prochází bodem T. Dále v bodě T. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem K = [3,0] a dotýká se přímky y = 2x v bodě T = [1,2]. x− 7 3 2 + y − 4 3 2 = 20 9 # 6. Určete rovnici tečny kružnice x2 +y2 = 65, která je kolmá k přímce 3x−2y +9 = 0. Kružnice = množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu (středu S kružnice) stejnou vzdálenost (poloměr r) S> m,n@.....střed kružnice X k, X > x, y@, SX r.....libovolný bod kružnice středová rovnice kružnice: 2x m y n 2 r obecná rovnice kružnice: x y2 Ax By C 0 rovnice tečny v bodě témuž oblouku kružnice, kružnice jako kuželosečka, středová a obecná rovnice kružnice, vzájemná poloha kružnice a přímky, kulová plocha, povrch a objem koule a jejich částí (kulová úseč a výseč, kulový pás a kulový vrchlík) 1. Je dána kružnice k S;r=3cm a bod M, ∣MS∣=5cm. Sestrojte tečny z bodu M
Théta kuželosečky, říjen 2013 9. Napište rovnici tečny v bodě T k dané kuželosečce a. T=[2,0], 2x2-3x+y-2=0 b. T=[2,-4], x2+y2-2x+4y=0 c. T=[1,0], x2+2y2+4x-5=0 10. Napište rovnice tečen, které lze sestrojit z bodu M k dané kuželosečce a určete souřadnic t: 2x - 3y - 9 = 0 2x + 3y + 9 = 0 c) HYPERBOLA Př:Je dána hyperbola xy=2 a kružnice Napište rovnice tečen v jednom jejich společném bodě. Nejprve zjistíme společné body kružnice a hyperboly. Získáme dva body : Tím už můžeme zpaměti napsat rovnice tečny. Y=-x+2Ö2 Př:Najděte tečny hyperboly rovnoběžné s přímkou y = 2 b) Napište rovnici tečny t k dané parabole. Tečna t má být rovnoběžná s přímkou p: 3 x - y + 7 = 0. 3. Parabola y = a x 2 + b x + c prochází body A[0, 0], B[-1, -3], C[-2, -4]. a) Napište rovnici paraboly a určete souřadnice vrcholu. b) Určete rovnici kružnice, jejímž průměrem je tětiva vyťatá danou parabolou na ose x. 4 1.3. - Otázka číslo 17 - Analytická geometrie kružnice a elipsy , jejich vzájemná poloha s přímkou 1.) Je dána kružnice k: S = [-3, 2 ] a bod M na kružnici M = [-1, -4]. Napište její rovnici a rovnici její tečny v bodě C = [ -1, ? ]. 2.) Elipsa je dána rovnicí 9x2 + 16y2 - 54x + 64y - 431 = 0. Určete souřadnice ohnisek, a.
Napište rovnici tečny k elipse: 4(x - 1)2 + 9(y + 2)2 = 36 v bodě T(1,0( ( y = 0 (v bodě T(-1,2( ( 2x - y +4 = 0 (v bodě T(-2,-6( ( 3x + 4y + 30 = 0 (v bodě T(2,2( ( x + 4y - 10 = 0 (Je dána rovnice elipsy . Určete Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na ose x a která se dotýká přímek daných rovnicemi x - 8 = 0, y - 3 = 0. 7. Najděte rovnici kružnice souměrně sdružené s kružnicí o rovnici (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 1 vzhledem k přímce o rovnici x - y - 3 = 0. 8 17) Napište rovnici tečny ke křivce 9x2 +y2 −9x−4y=0 v bodě T[1,0]. 18) Napište rovnici tečny ke křivce x 2 + y 2 =25 v bodě T [ 3,−4 ] . 19) Napište rovnici tečny ke křivc
Ohniska elipsy leží na přímce y + 6 = 0. Napište rovnici elipsy, jestliže dále platí: . / / K elipse veďte takové tečny, které se souřadnicovou osou x svírají úhel 45°. Napište rovnice tečen. / y = x / Najděte rovnici tečny k elipse , která je rovnoběžná s přímkou x = - 6 + t, y = 5 + 2t Výpočet poloměru kružnice za pomocí středového bodu a obecné rovnice tečny (3 Potom, co dosadíme, tak vyjde spočítáš, tak máš vlastně poloměr tý kružnice a už můžeš napsat její rovnici.; Dobrý pomoc: přímka t: x+2y Slovní úloha kružnice k1 se středem v bodě A a poloměrem ta 4. kružnice.
Stanovte podmínky pro parametry a, b, c ( R, aby rovnice byla rovnicí kružnice. Určete její střed a poloměr. Je dána funkce . Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a, b ( R je bod inflexním bodem grafu funkce f. Pro taková a, b napište rovnici tečny t grafu funkce f v bodě P Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34. 0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY _32_INOVACE_ Něm17 Vypracoval(a), Dne RNDr. Marie Němcová, 27.1. 2013 Ověřeno (datum) 21. 2. 2013 Předmět Matematika Třída 3. B Téma hodiny Tečna kuželosečky v bodě. Napište rovnici tečny kuželosečky 3x 2 +4xy+5y 2-7x-8y-3=0, vedené jejím bodem T=[?,1]. Určete tečny kuželosečky x 2 +2xy-y 2 +6x=0 v jejích průsečících s osou x. Napište rovnici regulární kuželosečky, která se dotýká osy x v počátku soustavy souřadnic. Bodem R=[3,4] veďte tečny ke kuželosečce 2x 2 -4xy+y 2-2x+6y. Dobrý den, určitě dalo, jsou dvě možnosti: 1) kuželosečku vyjádřit jako funkci - například u kružnice máme dvě funkce - \(y=\sqrt{r^2-x^2}\) a \(y=-\sqrt{r^2-x^2}\) a pak ji derivovat úplně klasicky jako složenou funkci 2) podívat se na derivaci implicitní funkce, která je v diferenciálním počtu funkcí více proměnných - ta umožňuje právě určovat derivace funkcí. Napište rovnici tečny kuželosečky tak, aby odchylka tečny a osy x byla ϕ: a) k: x2 +y2 −x −y−4 =0, ϕ=45° [Pet96/131, y=x±3] b) H: 6x2 −4y2 =1, ϕ=60° [Pet96/131, 2 1 y = 3x± ] 13. Určete rovnici tečny kuželosečky v jejím bodě T: a) k. x2 +y2 −6x+10y+14 =0, kde T[x 0,−3] [Odmat4/178, t1,2: 2x±y-11=0] b) P: x2.
c) Ve kterém bodě je tečna rovnoběžná s přímkou p: 5x-y-2=0? [T[2,9]] 3. Určete rovnici tečny ke kružnici v bodě T[-1;-2]. [4x+3y+10=0] 4. Určete rovnici tečny a normály paraboly v bodě T[-3,y]. [t: 2x-y+11=0, n: x+2y-7=0] 5. Je dána parabola . Určete a)Dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která má směrový úhel b. Napište rovnici tečny paraboly s rovnicí v jejím bodě .a dokažte, že tento bod je jediným společným bodem tečny a paraboly. Řešení: Tečna paraboly má rovnici . Po úpravách získáme . Tuto rovnici dosadíme do rovnice paraboly a kvadratickou rovnici vyřešíme. jediným kořenem této rovnice je . Hyperbol 11) Najděte rovnici tečny ke kružnici x2 +y2 =10 s bodem dotyku [ ] T =1;t2,t2 >0. [t: x +3y −10 =0] 12) Jaká je směrnice tečny t kružnice (x −1)2 +(y +2)2 =25 s bodem dotyku T =[4;2]? 4 3 −] 13) Pro která m∈R je přímka x −y +m =0 sečnou kružnice x2 +y2 −8y =0? [m∈(4 −4 2;4+4 2)] 14) Uveďte osovou rovnici elipsy v základním tvaru, jejíž hlavní poloosa a =13 a.
r t cost t sint,sint t cost,0 , t R. 3.3 Tečna křivky v regulárním bodě Příklad 4: (2 body) Napište parametrickou rovnici tečny ke křivce r r t et,1 t,2t , t R, v jejím regulárním bodě t0 0 504.Napište rovnici tečny v bodě x = 2 ke křivce y = x2−3 x−1. 505.Napište rovnici tečny k asteroidě o rovnici x23 +y 2 3 = 2 v bodě T [1,1]. 506. Ve kterém bodě má parabola y = 2x2+ 3x − 1 tečnu a) se směrovým úhlem 45 , b) rovnoběžnou s přímkou 5x−y +3 = 0
X t a t b t> cos , sin @ [a, 0], [0, b], [-a, 0], [0, -b] b. X t a t t b1, ªº ¬¼ body v nichž parametrizace nemá derivaci 5. Napište explicitní rovnici křivky X t t t2 ªº¬¼cotg,sin. 1 1 2 x y 6. Vyšetřete průběh křivky dané v polárních souřadnicích rovnicí UI 2cos. Určete rovnici tečny v bodě U 0. kružnice, t: x. 5) Napište rovnici tečny ke kružnici k: (x + 2)2 + (y - 1)2 = 5, která je rovnoběžná s přímkou p: 2x - y + 1 = 0. 6) Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí x2 + y2 -2x+6y + 9 = 0 a přímky p: y = x + c v závislosti na parametru c. 26. Kuželosečky analytickou metodo Napište obecnou rovnici tečny kružnice v bodě dotyku T =[6,2], jestliže střed kružnice má souřadnice S =[3,−4]. 5. Zjistěte, pro která reálná čísla x platí, že čtvrtý člen binomického rozvoje výrazu je čtyřikrát větší než jeho třetí člen. ()1+x 6 Řešení: 1 Napište rovnici tečny kuželosečky x2 + y2 = 25 v jejím bodě T = [ -3,4 ]. 3.) Určete vzájemnou polohu přímky x + y - 2 = 0 a hyperboly x2 - y2 - 16 = 0 . Danou hyperbolu zakreslete do souřadných os a zakreslete její asymptoty . Pokud má přímka s hyperbolou společné body, určete jejich souřadnice. 23.3. - Písemná. Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M a mají s hyperbolou právě jeden společný bod. 4) Napište rovnici tečny paraboly . y. 2 3x 4y 8 0. v jejím bodě dotyku T[-8;y. 0] . 5) Je dána přímka . p:y 1 0. a bod M[0;7]. Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které procházejí . bodem M a dotýkají se.
FUNKCE TANGENS A KOTANGENS (tg, cotg) 1. Definice funkcí . tg. a . cotg tangens znamená. TEČNA . a kotangens představuje . DOPLNĚK TEČNY. Funkce TANGENS je dána rovnicí MATEMATIKA - PROFILOVÁ ČÁST MATURITNÍ ZKOUŠKY Zkouška z matematiky je písemná. Trvá 240 minut. Jedná se o komplexní zkoušku, během níž žáci pracují s informacemi a používají výpočetní techniku V bodě T = [ 6 ; -2 ] napište rovnici tečny ke kružnici se středem S = [ 3 ; -1 ] a poloměrem . Řešení příkladu není k dispozici Zobrazit výsledek Skrýt výslede Sestav rovnici 1: Sestav rovnici 2: Goniometrické funkce: Obecný trojúhelník: Napište obecnou rovnici tečny ke kružnici v bodě T = [-1, y T <0]. × Řešení příkladu není k dispozici. Zobrazit výsledek Skrýt výsledek; Výsledek příkladu. t: 3x + 4y + 7 =0. Touto aplikací derivace jsme se již zabývali v 3.lekci, proto jenom stručně shrneme. Derivace funkce udává směrnici tečny k t ke grafu funkce f v bodě T[x o,y o]. Rovnice tečny grafu funkce v bodě T[x o,y o] má tvar: y - y o = k t (x - x o) Normála je přímka procházející bodem T kolmo k tečně, její směrnice k n = -1/k t a.
Úlohy na procvičení Příklad 3 Napište rovnice tečen ke kružnici k: (x - 2)2 + (y + 6)2 = 13, které jsou rovnoběžné s přímkou p: 2x - 3y + 5 = 0 Přímky rovnoběžné s přímkou p, mají tvar t: 2x - 3y + c = 0. Hledáme body dotyku přímek t a kružnice. Najdeme přímku kolmou k zadané přímce, která prochází středem dané kružnice Obecnou rovnici kružnice můžeme doplněním na úplný čtverec převést na středovou rovnici: tečnu v bodě můžeme vyjádřit takto: po dosazení za dostaneme stejnou rovnici tečny jako v prvním případě: x x t 0 3 t 3 y t x 2 t 3 10 y 0 t 2 y t 2 10 2 2 x 0 2 ; y 0 5 t : x t 3y 13 0 K> Definice: Všechny normály v bodě M (t0) křivky k tvoří svazek přímek v tzv. normálové rovině, tj. v rovině, která prochází bodem M (t0) křivky kolmo k tečně t. Příklad 3.5: Napište parametrické rovnice tečny p v bodě t0 = 1 ke křivce k, která je dána vektorovou rovnicí r (t) = (t 2, t, t 4), t R Otázkou zůstává, jak nalezneme rovnici tečny kuželosečky z vnějšího bodu R. Můžeme zopakovat úvahu, kterou jsme již použili u kružnice. Kdybychom znali dotykový bod T , mohli bychom podle předcházejícího postupu zapsat rovnici tečny v bodě T : tT Ax + aT (x + t) + a = 0. Tato tečna byla vedena z bodu R, a proto. Napište rovnice tečen ke kružnici x2 + y2 = 25 v jejím dotykovém bodě T [3;y]. Zjistěte také úhel φ.. posouvající síla v místě hledaného úhlu natočení od zatížení nosníku ktivním obtížením totožným s Integrací předchozích dvou rovnic pro případ, že chceme určit úhel natočení a průhyb v místě x.
Kružnice 3. třída Kružnice — Matematika . Jednoduchá metoda pro výpočet bodů kružnice spočívá v tom, že vezmeme jeden bod ležící na kružnici (dána středem a poloměrem) a otáčíme jej o zadaný úhel proti směru hodinových ručiček.Goniometrie - Sinus a cosinus - Jednotková kružnice 1 Střed Thaletovy kružnice označíme R. Průnik Thaletovy kružnice s.. 3) Nalezneme společný bod kružnice a tečny společným řešením rovnice tečny a rovnice kružnice tím že za y v rovnici kružnice dosadím y z rovnice přímky tedy : Po sečtení všech zlomků a úpravách dostaneme kvadratickou rovnici Je dán střed kružnice v bodě S = [-4,0] a její tečna t: x - y = 0. Napište rovnici takto dané kružnice. Řešení: Střed kružnice je dán a poloměr je roven vzdálenosti bodu S od přímky t : ( 4) 8 2 2 1 1 4, x 2 y2 r S t 15.13 Příklad: Napište rovnici Thaletovy kružnice nad úsečkou AB, kde A = [7,1] a B = [-2,5
Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: x - 3y - 2 = 0 a která se dotýká přímky q: 4x - 3y + 17 = 0 v bodě T[-2; 3]. Řešení: Střed S kružnice k leží na přímce p a na přímce t, která prochází bodem T a je kolmá k přímce q V dalším postupu odvodíme vzorec pro výpočet křivosti Kv bodě. Předpokládejme, že křivka je dána rovnicí y = f(x). Budeme-li hledat V bodech M, M′ veďme tečny t, t Je dána kružnice o rovnici (x− 2). Zahradnícka konštrukcia elipsy: Ohnisková konštrukcia elipsy (obr.2) Dané sú ohniská 1 F, 2 F a úsečka KL dĺžky 2a, že leží na kolmici k zostrojenej z ohniska 1 F na daný smer s, kde leží aj bod P - päta kolmice na dotyčnicu t elipsy ( tj ich vzdialenosť je 2e) 2.na kolíky pripevníme špagát dĺžky 2a 3.vezmeme tretí. 5) Napište rovnice tečny kružnice v daném bodě: a) b) c) Výsledky: a) b) c) 6) Je dána kulová plocha se středem , která prochází počátkem soustavy souřadné a úsečka , kde . Určete rovnici kulové plochy a společné body útvarů(pokud existují). Výsledky: